martes, 20 de noviembre de 2012

COEFICIENTE DE GINI Y CURVA DE LORENZ



 COEFICIENTE DE GINI

¿Qué es el Coeficiente de Gini?


El Coeficiente de Gini es una medida de la desigualdad ideada por el estadístico italiano Corrado Gini.
 

¿Para qué se utiliza?

Normalmente se utiliza para medir la desigualdad en los ingresos, dentro de un país, pero puede utilizarse para medir cualquier forma de distribución desigual.
El coeficiente de Gini es un número entre 0 y 1, en donde 0 se corresponde con la perfecta igualdad (todos tienen los mismos ingresos) y donde el valor 1 se corresponde con la perfecta desigualdad (una persona tiene todos los ingresos y los demás ninguno).
El índice de Gini es el coeficiente de Gini expresado en porcentaje, y es igual al coeficiente de Gini multiplicado por 100.
Aunque el coeficiente de Gini se utiliza sobre todo para medir la desigualdad en los ingresos, también puede utilizarse para medir la desigualdad en la riqueza.
 

COMO SE CALCULA

 
El coeficiente de Gini se calcula como una proporción de las áreas en el diagrama de la curva de Lorenz. Si el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz es a, y el área por debajo de la curva de Lorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b).
Esta proporción se expresa como porcentaje o como equivalente numérico de ese porcentaje, que es siempre un número entre 0 y 1. El coeficiente de Gini se calcula a menudo con la Fórmula de Brown, que es más práctica:
G = \left| 1 - \sum_{k=1}^{n-1} (X_{k+1} - X_{k})
(Y_{k+1} + Y_{k}) \right|
Donde:
  • G: Coeficiente de Gini
  • X: Proporción acumulada de la variable población
  • Y: Proporción acumulada de la variable ingresos

 EJEMPLO DE COEFICIENTE DE GINI

CURVA DE LORENZ

¿Qué es la curva de Lorenz ?


La curva de Lorenz es una representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar la distribución relativa de una variable en un dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares o personas de una región o país, Su autoría es de Max O. Lorenz en 1905.

¿Para qué sirve?

Para mostrar la distribución del ingreso de una poblacion, relacionando el porcentaje acumulativo de familias en el eje horizontal y el pocentaje acumulativo de ingresos en el vertical.

 Ecuación de la curva de Lorenz

Si se conoce la distribución de la renta como densidad de probabilidad \scriptstyle f_r(r) para cada valor de renta, la curva de Lorentz puede encontrarse analíticamente en función de esta. La proporción de personas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel de renta r viene dada por:
(1) P(r) = \int_0^r f_r(\rho)\ d\rho
Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas con rentas iguales o inferiores a r viene dada por:
(2)R(r) = \frac{\int_0^r \rho f_r(\rho)\ d\rho}{\int_0^\infty \rho f_r(\rho)\ d\rho} =
\frac{1}{R_m} \int_0^r \rho f_r(\rho)\ d\rho
Donde R_m es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntas las ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r.

Propiedades

La curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos como se deduce de la siguiente relación:
(3) \left(\frac{dP}{dR}\right)_{P_0 = P(r_0)} = \frac{\frac{P(r_0)}{dr}}{\frac{R(r_0)}{dr}} =
\frac{r_0 f_r(r_0)/R_m}{f_r(r_0)} = \frac{r_0}{R_m} \ge 0
En el punto inicial \scriptstyle r_0 = 0 la pendiente será nula (aun en el caso \scriptstyle f_r(0) = 0 el límite anterior sigue siendo válido, pero en el resto de puntos será estrictamente positiva.
Además la curva de Lorenz es cóncava ya que su derivada segunda siempre es positiva:
(4) \left(\frac{d^2 P}{dR^2}\right)_{P_0 = P(r_0)} =
\frac{1}{R_m} \frac{dr(P_0)}{dP} = \frac{1}{R_m} \frac{1}{f_r(r_0)} \ge 0
Despejando \scriptstyle r de la primera ecuación y substituyendo el resultado en la segunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:
R = R(P) = P + (1-P) \ln (1-P)\,
El índice de Gini se puede calcular simplemente como:
IG = 1 - 2 \int_0^1 R(P)\ dP = 0.5
Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de una distribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas en cambio resulta sólo \scriptstyle IG\ \approx 0,4911.

EJEMPLO DE LA CURVA DE LORENZ